十种方案解工资薪金税收优化难题

十种方案解工资薪金税收优化难题

　　年终将至，工资薪金个人所得税筹划是每家企业需要考虑的问题。由于月度工资与一次性年终奖的计税方法不同，所以工资薪金在月度工资与一次性年终奖之间的不同配比，所产生的税负也不相同，客观上给税收筹划提供了一定的空间。
　　根据我国现行个人所得税法相关规定，月度工资与全年一次性年终奖的纳税额可分别用函数表达为：f(x)=(rx-q;g(n)=r×12n-q。其中：x为月度工资，12n为一次性年终奖，r为税率，q为相应的速算扣除数。
　　预知在年度剩下时间内待发放的工资薪金总额为A(A为工资薪金的应纳税所得额)。那么在年度内剩下的M个月(1≤M≤12)月度工资和一次性年终奖的配置为{x1，x2，…，xM;12n}时，其扣除的个人所得税总额为T(x1，x2，…，xM;n)=f(x1)+f(x2)+…+f(xM)+g(n)。如何分配月度工资x1，x2，…，xM和一次性年终奖12n，使得T(x1，x2，…，xM;n)的值最小?

　　两个最优配置的必要条件
　　要达到最优配置，必须满足2个必要条件，在此基础上再给出最优配置的算法，并运用算法获得任意条件下的最优配置。
　　条件1，设待发工资薪金总额A及月度工资发放次数M已知，如果固定一次性年终奖N，则税函数T(x1，x2，…，xM;n)取得最小值当且仅当x1，x2，…，xM皆位于(A-N)/M所在的税率区间的内部或端点。特别，若取x1=x2=…=xm=(A-N)/M，则税函数T(x1，x2，…，xM;n)达到最小值。
　　由此，假定最优配置满足条件x1=x2…=xM，而问题变为：对任意给定的A和M，如何选定x和n，使得A=Mx+12n，并使得T(x，n)=Mf(x)+g(n)的值最小。
　　条件2，当A和M给定，x和n变动时，(x，n)为最优配置，那么，或者n和x在同一税率区间，或者n 对于给定的A和M，在条件A=Mx+12n下，n的取值范围为0≤n≤A/12，将变量n从A/12开始向左推移到0，T(x，n)的随n的减小而变化。考虑T(x，n)随n减少而变化的趋势：n从A/12开始一直减小到0(x相应地从0增加到A/M)的过程，可以分成如下3个阶段：n>x，且n与x不在同一税率区间;n与x在同一税率区间;n 这是3个前后相继的阶段，分别称为过程(1)、过程(2)和过程(3)。在过程(1)中，T(x，n)的值总是随着n的减小而减小的。
　　在过程(2)中，T(x，n)的值保持不变。
　　在过程(3)中，如果保持x与x+△x在同一税率区间，n与n-△n在同一税率区间，则总有T(x，n) 因此，从n离开过程(2)那一刻起，只要尚未触及左边第一个税率临界点，T(x，n)的值都在增大，设这个增大量为D，一旦n触及左边第一个税率临界点，T(x，n)=Mf(x)+g(n)中的g(n)会有一向下的跳跃度C，如果C≥D，则表明n当取这个税率临界点时，T(x，n)获得新的最小值。同样，继续让n减小，T(x，n)还有可能在n取下一个更小的税率临界点时达到新的最小值。
　　当A，M已知时，n从A/12开始一直减小到0(x相应地从0增加到A/M)的过程称为变量推移。这种变量推移的方法是本文解决问题的主要方法。

　　税率区间值保持不变可最优配置
　　根据条件2可以设计一个最优配置的计算方法。
　　当M给定时，A的值对应了一个最优配置是(x，n)，由于Mx+12n=A，A所对应的最优配置由n的值决定，故n可看作A的函数，记这个函数为n(A)(可能多值)。对任意给定的A和M，令x和n相等得x=n=A/(12+M)，记其为k。由于A= (12+M)k，可知在给定M的条件下，k与A是一一对应的，因而当M给定时，函数n(A)可转化为函数n(k)进行讨论。并称n(k)为最优配置函数。于是只要对任意1≤M≤12，求出函数n(k)，问题便解决了。
　　对于给定的A和M，将上面所述的(k=A/(12+M))放到由税率区间构成的正实轴上，若k∈(ai-1，ai，由必要条件2可知，n(k)的值要么为ai1以下的税率临界点，要么为(ai1，ai内的某一子区间。
　　通过进一步的讨论可知，对任意1≤M≤12和税率区间(ai1，ai]，任意k∈(ai1，ai，n(k)取值税率临界点的条件：(1)设(ai1，ai为税率区间，ajT(z0，j，这里Mai1+12ai1=Mz0+12aj即z0=ai
　　1+(12ai1-aj)/M。
　　(2)设(ai-1，ai]为任一税率区间，若当M=12时，T(ai-1，ai-1)>T(z0，aj)则当M<12时，也有T(ai1，ai1)>T(z0，aj。
　　由此可知，对任意M任意区间(ai1，i和任意k∈(ai1，i，n(k)的值有以下3种情形：n(k)=ai2;n(k)=ai1;n(k)为(ai1，i]内某一区间。
　　因此要对(ai1，ai中的任意k计算n(k)，就是要分别找出(ai1，ai中使得n(k)=ai2和n(k)=ai1的点。
　　取ξ(x)=T(x，ai1)-T(z，aj)(x≥ai-1，z=x+[12(ai1，ai-2)/M]，x≥ai-1时ξ(x)是单调不减连续的，可找到x0使得ξ(x0)=0。取y1为(ai1，x0]的M:12分点。实际计算表明，对任意1≤M≤12和税率区间(ai1，ai，x0是唯一存在的，且y1≤ai不难看出，对任意k∈(ai1，i]，当且仅当k∈(ai1，y1]时，T(z1，ai

　　1

　　)>T(z2，ai2)。

　　取t0为(ai-1，ai的M:12分点，则对任意k∈(ai1，t0，让n和x从k处出发相向方向运动(n减少，x相应增大)，若仍记n运动到ai1时x的位置为z1，显然有z1ai因而有T(k，k)>T(z1，ai1)(实际上，T(k，k)-T(z1，i

　　1

　　)=ci1)，从而对任意k∈S∩(ai1，0](其中S={k│k∈(ai1，ai，T(z1，ai1)>T(z2，ai2)})都有T(k，k)>T(z1，i1)>T(z2，i2)，从而n(k)=ai2。

　　由于g(n)在ai1右方有一个跳跃度ci1，由f(x)及g(n)的连续性，可知当k在t0的右方附近取值时仍有T(k，k)>T(z1，ai1)。

　　为求出在t0右方满足这个不等式的所有k值，把k看成是区间(m，ai的M:12分点，其中t0 记n从m继续向左运动到达ai1时，x的位置为z1，计算使得T(ai，m)≥T(z1，ai1)的最大值m0。

　　为此，作函数η(m)=T(aim)-T(z1，ai

　　1)，

　　不难看出η(m)当m≥t0时也是单调不减连续函数，且η(t0)=ci1>0，通过计算可知，对任意1≤M≤12和税率区间(ai1，ai]，函数η(m)在(ai-1，i上有且仅有一个零点m0。若令y2为区间(m0，i的M:12分点，则有T(k，k)>T(z1，ai1)当且仅当k∈(ai1，y2]。

　　实际计算还表明，对任意M和(ai1，ai]，若y1存在，则必有y1≤y2。

　　因此，对任意1≤M≤12和税率区间(ai1，ai，若k∈(ai1，y1]，则n(k)=ai2;若k∈(y1，y2]，则n(k)=ai1;若k∈(y2，ai，则n(k)的取值为一个包含k的区间。

　　当k∈(ai1，y1]时，由于y1≤y2，又有k∈(ai1，y2]，故有T(k，k)t0，则T(k，k) 值得一提的是，当n(k)的取值为一个包含k的区间时，总可以让x取ai，即让月度工资发放数尽可能取最大值，这样做显然对职工是有利的。

　　对任意税率区间(ai1，ai，如果T(ai1，ai

　　1

　　)>T(z0，i-2)，则y1，y2都存在，称(ai-1，y1]，(y1，y2]及(y2，ai为配置优化区间。若T(ai1，ai1)≤T(z0，ai2)，则y1不存在，(ai-1，ai上只有两个配置优化区间(ai1，2]和(y2，i。

　　七个税率区间的十种操作

　　根据文中的方法，对任意M所对应的个人所得税的7个税率区间逐一进行计算、归并。当已知M和A时，只需通过查表方式找到A所对应的区间，即可找到月度工资与一次性年终奖的筹划方案。具体筹划方案为(A的金额单位为“万元”)：
    1.当M为1至12时，对应的A区间分别为：(0，0.15]，(0，0.3]，(0，0.45]，(0，0.6]，
　　(0，0.75]，(0，0.9]，(0，1.05]，(0，1.2]，(0，1.35]，
　　(0，1.5]，(0，1.65]，(0，1.8]，可采取月度工资按月平均发放;不发放一次性年终奖。

　　2.当M为1至12时，对应的A区间分别为：(0.15，1.95]，(0.3，2.1]，(0.45，2.25]，
　　(0.6，2.4]，(0.75，2.55]，(0.9，2.7]，(1.05，2.85]，(1.2，3]，(1.35，3.15]，(1.5，3.3]，(1.65，3.45]，
　　(1.8，3.6]，可采取月度工资按每月0.15万元发放;剩余部分用于发放一次性年终奖。

　　3.当M为1至12时，对应的A区间分别为：(1.5，3.17]，(2.，3.7]，(2.25，4.050]，
　　(2.4，4.55]，(2.5，5.205]，(2.7，5.655]，(2.5，6.105]，(3，6.555]，(3.500，7.005]，(3.，7.55]，(3.5，7.905]，
　　(3.6，8.55]，可采取发放一次性年终奖1.;剩余部分作为月度工资，按月平均发放。

　　4.当M为1至12时，对应的A区间分别为：(3.7，5.5]，(3.77，6.](4.05，6.5]，(4.55，7.]，
　　(5.050，7.500]，(5.55，8.]，(6.05，8.5]，(6.555，9]，(7.05，9.5]，(7.55，9.]，(7.05，10.5]，(8.355，10.]，
　　可采取月度工资按每月0.5万发放;剩余部分发放一次性年终奖。

　　5.当M为1至12时，对应的A区间分别为：(5.85，12.5]，(6.，16.65]，(6.75，20.4]，
　　(7.2，23.9]，(7.65，27.]，(8.，30.]，(8.55，34.4]，(9，37.9]，(9.45，41.]，(99，44.9]，(10.35，48.4]，
　　(10.，51.]，可采取发放一次性年终奖5.4万元;剩余部分作为月度工资，按月平均发放。

　　6.当M为1至12时，对应的A区间分别为：(12.5，19.25](16.5，24.5]，(20.，29.25]，
　　(23.，33.5]，(27.4，38.2]，(30.9，41.]，(34.4，45.]，(37.9，48.7]，(41.4，52.2]，(44.9，55.]，(48.4，59.]，
　　(51.9，62.7]，可采取发放一次性年终奖10.8万元;剩余部分作为月度工资，按月平均发放。

　　7.当M为1至12时，对应的A区间分别为：(19.25，45.5]，(24.5，49]，(29.25，52.5]，
　　(33.75，56]，(38.2，59.]，(41.7，63]，(45.2，66.5]，(48.7，70]，(52.2，73.]，(55.7，77]，(59.2，80.5]，
　　(62.7，84]，可采取月度工资按每月3.5万元发放;剩余部分发放一次性年终奖。

　　8.当M为1至12时，对应的A区间分别为：(45.5，62]，(49，69.1667]，
　　(52.5，76.3333]，(56，83.5]，(59.5，90.6667]，(63，97.8333]，(66.5，105.250]，(70，113.25]，(73.5，121.25]，(77，129.25]，(80.5，137.25]，
　　(84，145.25]，可采取发放一次性年终奖42万元;剩余部分作为月度工资，按月平均发放。

　　9.当M为1至6时，对应的A区间分别为：(62，71.5]，(69.1667]，(76.3333，82.5]，(83.5，88]，(90.6667，93.5]，(97.8333，99]，可采取月度工资按每月5.5万元发放;剩余部分发放一次性年终奖。
　　10.当M为1至12时，对应的A区间分别为：(71.5，+∞)，(77，+∞)，(82.5，+∞)，(88，+∞)，(93.5，+∞)，(99，+∞)，(105.25，+∞)，(113.25，+∞)，(121.25，+∞)，(129.25，+∞)，(137.25,+∞)，(145.25,+∞)可采取发放一次性年终奖66万元;剩余部分作为月度工资，按月平均发放。